RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS. CIRCUNFERENCIA GONIOMÉTRICA.

Con la circunferencia goniométrica podemos averiguar el signo de cualquier ángulo de las razones trigonométricas, según el cuadrante en el que estén.

Primer cuadrante (0º-90)

Coseno +

Seno +

Tangente +

Segundo cuadrante (90º-180º)

Coseno -

Seno +

Tangente –

Tercer cuadrante (180º-270º)

Coseno -

Seno -

Tangente +

Cuarto cuadrante (270º-360º)

Coseno +

Seno -

Tangente - 

Realizado por: Jesús Sáez Medina

Historia de la trigonometría

Historia de la trigonometría

La trigonometría es una rama de las tantas ramas de matemáticas, se encarga de estudiar y analizar la relación entre los lados y los ángulos de los triángulos. Para esto recurre generalmente a las llamadas razones trigonométricas. El origen de la palabra trigonometría desciende del griego “trigonos” (triángulo) y “metros” (metria).

Los inicios:

Hace unos 4000 años en Babilonia (antiguo reino localizado en la región de Mesopotamia) y Egipto se determinó y establecieron aproximaciones de medidas de ángulos y de longitudes de los lados de los triángulos rectángulos para ampliar y desarrollar medidas tanto en la agricultura como en la construcción de pirámides. Los egipcios fijaron la medida de los ángulos en grados, minutos y segundos. Además se utilizaba la trigonometría para el estudio de la astronomía. Antiguamente la astronomía se ocupaba de la observación y predicciones de los movimientos de los objetos visibles a simple vista y en el estudio de la predicción de sus rutas y posiciones, para luego progresar y perfeccionar la exactitud en la navegación y el cálculo del tiempo así como los calendarios. La astronomía precolombina poseía calendarios muy puntuales y las pirámides de Egipto fueron construidas sobre patrones astronómicos muy exactos y puntuales.

Grecia, India y Arabia:

Posteriormente, el estudio de la trigonometría se asentó en Grecia, donde podemos nombrar al matemático y astrónomo Griego Hiparco de Nicea, uno de los principales desarrolladores de la Trigonometría. Este matemático construyó una tabla de cuerdas para solucionar triángulos. Comenzando con un ángulo de 71° y aproximándose hasta 180° con ampliaciones de 71°, la tabla facilitaba la longitud de la cuerda limitada por los lados del ángulo central ya que fragmentaba a una circunferencia de radio r. Hasta el momento no se conoce el valor que Hiparco utilizó para r. 300 años mas tarde, el astrónomo griego Tolomeo utilizó r = 60, ya que los griegos tomaron el sistema numeral (base 60) que era usado por los babilonios. Durante varios siglos, la trigonometría de Tolomeo fue la introducción primordial para los astrónomos. El teorema de Menelao utilizado para resolver triángulos esféricos fue también obra de Tolomeo.

En India y Arabia la trigonometría era utilizada en la Astronomía. El primer uso de la función seno, aparece en el Shulba o Sulba Sutras escrito en India del siglo VIII al VI a. C. A finales del siglo X ya habían se habían completado la función seno y las otras cinco funciones trigonométricas.
 

Europa: (A partir del S XII)

En el siglo XII comienzan a aparecer en Europa traducciones de libros de matemáticas y astronomía árabes. El primer trabajo significativo en esta materia fue escrito por el matemático y astrónomo alemán Johann Müller. Se le considera fundador y un importante innovador en esta materia, puesto que detalla y crea varias herramientas de gran utilidad, así como importantes tratados en los que explica, analiza y muestra la obra de Tolomeo.

Durante el siglo XII el astrónomo alemán Georges Joachim, introdujo el concepto moderno de las funciones trigonométricas como proporcionales en vez de longitudes de algunas determinadas líneas. Ya en el siglo XVI el matemático francés François Vieté, incorpora en su tratado “Canon matemáticas” el triángulo polar en la trigonometría esférica.

A comienzos del siglo XVII, el matemático escocés John Napier descubrió los logaritmos que el llamó “números artificiales”. Esto fue trascendental en el desarrollo de la trigonometría.

A mediados del siglo XVII el físico, inventor, alquimista y matemático inglés, Isaac Newton descubre el cálculo diferencial e integral. También contribuyó en otras áreas de la matemática, por ejemplo desarrollando el teorema del binomio o las fórmulas de Newton-Cotes.

En el siglo XVIII, el físico y matemático suizo Leonhard Euler, explicó que las propiedades de la trigonometría eran consecuencia de la aritmética de los números complejos. Estudió además la notación actual de las funciones trigonométricas y se le atribuye el descubrimiento de la letra e como base del logaritmo natural, así como la unidad imaginaria que generalmente se denota con la letra i. Euler también popularizó El número pi ( π ).

Resolución de Triángulos Oblicuángulos. Teorema del seno.

1.- Triángulo Oblicuángulo: Es aquel que no es recto ninguno de sus ángulos, por lo que no se puede resolver directamente por el teorema de Pitágoras, el triángulo oblicuángulo se resuelve por leyes de senos y de cosenos, así como el que la suma de todos los ángulos internos de un triángulo suman 180 grados.

2.- Teorema del seno:

• Para sacar cualquier lado:
  
  
  
  
• Para obtener un ángulo: 
  
  
  

medidas angulares, grados centesimales, sexagesimales y radianes

Se entiende por sistemas de medición angular a la clase de mediciones sobre un arco de circunferencia. Son un capítulo básico en el estudio de la trigonometría, para comprender estos sistemas se debe saber el concepto de ángulo trigonométrico. En este sistema de medición angular utilizamos el ángulo como posición de vértice en ángulo C. Por ejemplo: el ángulo C es un vértice 0 que se suma a la circunferencia de C+A que llega a un total de C+A= 360º

Un ángulo se puede medir en el sistema sexagesimal y divides el ángulo de 1º en 60 partes, 60 minutos, y 1` minuto en 60 segundos, Si trabajas en el centesimal, divides 1 grado en 100 partes, 100 minutos centesimales, no se utiliza.

Ejemplo: 0,5º sería la mitad de un grado sistema centesimal = a 30 minutos, la mitad de un grado en el sexagesimal. 

puedes convertir un valor sexag. en otro centesimal y viceversa con una simple regla de tres: si 1 grado son 60 mi. 0,x grados centesimales serán X minutos sexagesimales. Cuando utilizas la calculadora te da el resultado en el sistema centesimal 12,25º que corresponden a 12º 15´, quiere decir que 0,25º = 15´

Se define el radian como el ángulo que en una circunferencia subtiende respecto del centro O un arco MN con igual longitud que el radio r. En general, si tenemos una circunferencia de radio r,   y un cierto ángulo a subtendiendo un arco de longitud s, el cociente s/r nos da el valor de ese ángulo en radianes.Por otra parte, nosotros conocemos que la mitad de la circunferencia corresponde a un arco de longitud pr, mitad que equivale a un ángulo de 180° , lo cual nos permite hacer transformaciones entre radianes y ángulos:   Por ejemplo, ¿ cuántos radianes son 30° ?.    Respuesta:   considerando la relación      tenemos que x = p/6   radianes.

Grados centisimales es una unidad de medida de ángulos planos, alternativa al grado sexagesimal y, como este, no perteneciente al Sistema Internacional de Unidades, cuyo valor se define como el ángulo central subtendido por un arco cuya longitud es igual a 1/400 de la circunferencia. La circunferencia se divide, por tanto, en 400 gon y un ángulo recto en cien gon, lo que permite determinar que un grado centesimal equivale a nueve décimas partes del grado sexagesimal
REALIZADO POR: Alba Fernández y Alba Pareja

Probabilidad

Pierre de Fermat descubrió el cálculo diferencial antes que Newton y Leibniz, fue cofundador de la teoría de probabilidades junto a Blaise Pascal e independientemente de Descartes, descubrió el principio fundamental de la geometría analítica. Sin embargo, es más conocido por sus aportaciones a la teoría de números en especial por el conocido como último teorema de Fermat, que preocupó a los matemáticos durante aproximadamente 350 años, hasta que fue demostrado en1995por Andrew Wiles ayudado por Richard Taylor sobre la base del Teorema de Shimura-Taniyama.





Andréi Kolmogórov fue un matemático ruso que hizo progresos importantes en los campos de la teoría de la probabilidad y de la topología. En particular, estructuró el sistema axiomático de la teoría de la probabilidad a partir de la teoría de conjuntos, donde los elementos son eventos. Trabajó al principio de su carrera en lógica constructivista y en las series de Fourier




Blaise Pascal matemático. Sus contribuciones a las matemáticasy lasciencias naturales incluyen el diseño y construcción de calculadoras mecánicas, aportes a la teoría de la probabilidad, investigaciones sobre los fluidos y la aclaración de conceptos tales como la presión y el vacío.


La probabilidad es un método por el cual se obtiene la frecuencia de un acontecimiento determinado mediante la realización de un experimento aleatorio, del que se conocen todos los resultados posibles, bajo condiciones suficientemente estables.
La teoría de la probabilidad se usa extensamente en áreas como la estadística, la física, la matemática, las ciencias y la filosofía para sacar conclusiones sobre la probabilidad discreta de sucesos potenciales y la mecánica subyacente discreta de sistemas complejos, por lo tanto es la rama de las matemáticas que estudia, mide o determina a los experimentos o fenómenos aleatorios.

REALIZADO POR: ALBA PAREJA RAMÍREZ

Historia de la trigonometría

Historia de la trigonometría

La historia de la trigonometría comienza con los babilonios y los egipcios. Estos últimos establecieron la medida de los ángulos en grados, minutos y segundos. Sin embargo, en los tiempos de la Grecia clásica, en el siglo II a.C. el astrónomo Hiparco de Nicea construyó una tabla de cuerdas para resolver triángulos. Comenzó con un ángulo de 71° y yendo hasta 180° con incrementos de 71°, la tabla daba la longitud de la cuerda delimitada por los lados del ángulo central dado que corta a una circunferencia de radio r. No se sabe el valor que Hiparco utilizó para r.

Tres siglos después, el astrónomo Tolomeo utilizó r = 60, pues los griegos adoptaron el sistema numérico base 60 de los babilonios.

A principios del siglo XVII, el matemático escocés John Napier descubrió los logaritmos y, gracias a esto, los cálculos trigonométricos recibieron un gran empuje.

A mediados del siglo XVII, los científicos Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz desarrollaron el Cálculo diferencial e integral. Uno de los fundamentos del trabajo de Newton fue la representación de muchas funciones matemáticas utilizando series infinitas de potencias de la variable x. Newton encontró la serie para sen x y series similares para cos xy tg x. Por último, en el siglo XVIII, el matemático suizo Leonhard Euler demostró que las propiedades de la trigonometría eran producto de la aritmética de los números complejos.

Cristina Romero Anguita 4ºC

Razones trigonometricas de un angulo. Razones de ángulos fundamentales.

 

 

Seno

El seno del ángulo B es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa.

Coseno

El coseno del ángulo B es la razón entre el cateto contiguo al ángulo y la hipotenusa.

Tangente

La tangente del ángulo B es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y el cateto contiguo al ángulo. 

-Si un ángulo alpha es agudo (menor de 90º) se puede considerar como uno de los ángulos de un triangulo rectángulo, pudiéndose definir una serie de conceptos llamados razones trigonometricas:

1. El seno y el coseno de un ángulo es siempre menor o igual que 1, ya que el cateto es siempre menor que la hipotenusa, (salvo para el triángulo degenerado, aquel en el que uno de los catetos mide 0).
2. La tangente puede tomar cualquier valor, desde cero a infinito (casos extremos), ya que uno de los catetos puede ser muy pequeño y el otro muy grande.
3. El seno, coseno y la tangente de los ángulos, se obtenían antiguamente empleando unas tablas que se llaman trigonométricas, actualmente puedes conocer su valor directamente de tu calculadora.