Matemáticas, inglés y fotografía es el título de este proyecto para 4º de ESO cuyo objetivo final es investigar aspectos matemáticos que aparecen en nuestras clases desde un punto de vista más cercano.
La trigonometría es una rama de las tantas ramas de matemáticas, se encarga de estudiar y analizar la relación entre los lados y los ángulos de los triángulos. Para esto recurre generalmente a las llamadas razones trigonométricas. El origen de la palabra trigonometría desciende del griego “trigonos” (triángulo) y “metros” (metria).
Los inicios:
Hace unos 4000 años en Babilonia (antiguo reino localizado en la región de Mesopotamia) y Egipto se determinó y establecieron aproximaciones de medidas de ángulos y de longitudes de los lados de los triángulos rectángulos para ampliar y desarrollar medidas tanto en la agricultura como en la construcción de pirámides. Los egipcios fijaron la medida de los ángulos en grados, minutos y segundos. Además se utilizaba la trigonometría para el estudio de la astronomía. Antiguamente la astronomía se ocupaba de la observación y predicciones de los movimientos de los objetos visibles a simple vista y en el estudio de la predicción de sus rutas y posiciones, para luego progresar y perfeccionar la exactitud en la navegación y el cálculo del tiempo así como los calendarios. La astronomía precolombina poseía calendarios muy puntuales y las pirámides de Egipto fueron construidas sobre patrones astronómicos muy exactos y puntuales.
Grecia, India y Arabia:
Posteriormente, el estudio de la trigonometría se asentó en Grecia, donde podemos nombrar al matemático y astrónomo Griego Hiparco de Nicea, uno de los principales desarrolladores de la Trigonometría. Este matemático construyó una tabla de cuerdas para solucionar triángulos. Comenzando con un ángulo de 71° y aproximándose hasta 180° con ampliaciones de 71°, la tabla facilitaba la longitud de la cuerda limitada por los lados del ángulo central ya que fragmentaba a una circunferencia de radio r. Hasta el momento no se conoce el valor que Hiparco utilizó para r. 300 años mas tarde, el astrónomo griego Tolomeo utilizó r = 60, ya que los griegos tomaron el sistema numeral (base 60) que era usado por los babilonios. Durante varios siglos, la trigonometría de Tolomeo fue la introducción primordial para los astrónomos. El teorema de Menelao utilizado para resolver triángulos esféricos fue también obra de Tolomeo.
En India y Arabia la trigonometría era utilizada en la Astronomía. El primer uso de la función seno, aparece en el Shulba o Sulba Sutras escrito en India del siglo VIII al VI a. C. A finales del siglo X ya habían se habían completado la función seno y las otras cinco funciones trigonométricas.
Europa: (A partir del S XII)
En el siglo XII comienzan a aparecer en Europa traducciones de libros de matemáticas y astronomía árabes. El primer trabajo significativo en esta materia fue escrito por el matemático y astrónomo alemán Johann Müller. Se le considera fundador y un importante innovador en esta materia, puesto que detalla y crea varias herramientas de gran utilidad, así como importantes tratados en los que explica, analiza y muestra la obra de Tolomeo.
Durante el siglo XII el astrónomo alemán Georges Joachim, introdujo el concepto moderno de las funciones trigonométricas como proporcionales en vez de longitudes de algunas determinadas líneas. Ya en el siglo XVI el matemático francés François Vieté, incorpora en su tratado “Canon matemáticas” el triángulo polar en la trigonometría esférica. A comienzos del siglo XVII, el matemático escocés John Napier descubrió los logaritmos que el llamó “números artificiales”. Esto fue trascendental en el desarrollo de la trigonometría.
A mediados del siglo XVII el físico, inventor, alquimista y matemático inglés, Isaac Newton descubre el cálculo diferencial e integral. También contribuyó en otras áreas de la matemática, por ejemplo desarrollando el teorema del binomio o las fórmulas de Newton-Cotes. En el siglo XVIII, el físico y matemático suizo Leonhard Euler, explicó que las propiedades de la trigonometría eran consecuencia de la aritmética de los números complejos. Estudió además la notación actual de las funciones trigonométricas y se le atribuye el descubrimiento de la letra e como base del logaritmo natural, así como la unidad imaginaria que generalmente se denota con la letra i. Euler también popularizó El número pi ( π ).
1.- Triángulo Oblicuángulo: Es
aquel que no es recto ninguno de sus ángulos, por lo que no se puede
resolver directamente por el teorema de Pitágoras, el triángulo
oblicuángulo se resuelve por leyes de senos y de cosenos, así como
el que la suma de todos los ángulos internos de un triángulo suman
180 grados.
Se entiende por sistemas de medición angular a la clase de mediciones sobre un arco de circunferencia. Son un capítulo básico en el estudio de la trigonometría, para comprender estos sistemas se debe saber el concepto de ángulo trigonométrico. En este sistema de medición angular utilizamos el ángulo como posición de vértice en ángulo C. Por ejemplo: el ángulo C es un vértice 0 que se suma a la circunferencia de C+A que llega a un total de C+A= 360º
Un
ángulo se puede medir en el sistema sexagesimal y divides el ángulo
de 1º en 60 partes, 60 minutos, y 1` minuto en 60 segundos, Si
trabajas en el centesimal, divides 1 grado en 100 partes, 100 minutos
centesimales, no se utiliza.
Ejemplo: 0,5º sería la mitad de un
grado sistema centesimal = a 30 minutos, la mitad de un grado en el
sexagesimal.
puedes convertir un valor sexag. en otro
centesimal y viceversa con una simple regla de tres: si 1 grado son
60 mi. 0,x grados centesimales serán X minutos sexagesimales. Cuando
utilizas la calculadora te da el resultado en el sistema centesimal
12,25º que corresponden a 12º 15´, quiere decir que 0,25º = 15´
Se
define el radian como el ángulo que en una
circunferencia subtiende respecto del centro O un arco MN con
igual longitud que el radio r.En
general, si tenemos una circunferencia de radio r, y
un cierto ángulo a subtendiendo un arco de longitud s,
el cociente s/r nos da el valor de ese ángulo en
radianes.Por
otra parte, nosotros conocemos que la mitad de la circunferencia
corresponde a un arco de longitud pr, mitad que equivale
a un ángulo de 180° , lo cual nos permite hacer transformaciones
entre radianes y ángulos: Por
ejemplo, ¿ cuántos radianes son 30° ?. Respuesta: considerando
la relación tenemos
que x = p/6 radianes.
Grados
centisimales es una unidad de medida de ángulos planos, alternativa
al grado sexagesimal y, como este, no perteneciente
al Sistema Internacional de Unidades, cuyo valor se define como
el ángulo central subtendido por un arco cuya longitud es
igual a 1/400 de la circunferencia. La circunferencia se divide, por
tanto, en 400 gon y un ángulo recto en cien gon, lo que
permite determinar que un grado centesimal equivale a nueve décimas
partes del grado sexagesimal REALIZADO POR: Alba Fernández y Alba Pareja
Pierre
de Fermat descubrió el cálculo diferencial antes que Newton y
Leibniz, fue cofundador de la teoría de probabilidades junto a
Blaise Pascal e independientemente de Descartes, descubrió el
principio fundamental de la geometría analítica. Sin embargo, es
más conocido por sus aportaciones a la teoría de números en
especial por el conocido como último teorema de Fermat, que preocupó
a los matemáticos durante aproximadamente 350 años, hasta que fue
demostrado en1995por Andrew Wiles ayudado por Richard Taylor sobre la
base del Teorema de Shimura-Taniyama.
Andréi
Kolmogórov fue un matemático ruso que hizo progresos importantes
en los campos de la teoría de la probabilidad y de la topología. En
particular, estructuró el sistema axiomático de la teoría de la
probabilidad a partir de la teoría de conjuntos, donde los elementos
son eventos. Trabajó al principio de su carrera en lógica
constructivista y en las series de Fourier
Blaise
Pascal matemático. Sus contribuciones a las matemáticasy
lasciencias naturales incluyen el diseño y construcción de
calculadoras mecánicas, aportes a la teoría de la probabilidad,
investigaciones sobre los fluidos y la aclaración de conceptos tales
como la presión y el vacío.
La probabilidad es
un método por el cual se obtiene la frecuencia de un acontecimiento
determinado mediante la realización de un experimento aleatorio, del
que se conocen todos los resultados posibles, bajo
condiciones suficientemente estables. La teoría
de la probabilidad se usa extensamente en áreas como
la estadística, la física, la matemática,
las ciencias y la filosofía para sacar
conclusiones sobre la probabilidad discreta de sucesos potenciales y
la mecánica subyacente discreta de sistemas complejos, por lo tanto
es la rama de las matemáticas que estudia, mide o
determina a los experimentos o fenómenos aleatorios.
La historia de
la trigonometría comienza conlos babiloniosylos egipcios. Estos últimos establecieron la medida de
los ángulos en grados, minutos y segundos. Sin embargo, en los tiempos de laGrecia clásica, en elsiglo II a.C.el astrónomoHiparco de Niceaconstruyó una tabla de cuerdas para
resolver triángulos. Comenzó con un ángulo de 71° y yendo hasta 180° con
incrementos de 71°, la tabla daba la longitud de la cuerda delimitada por los
lados del ángulo central dado que corta a unacircunferenciade radio r. No se sabe el
valor queHiparcoutilizó parar.
Tres
siglos después, el astrónomoTolomeoutilizó r = 60,
pues los griegos adoptaron el sistema numéricobase 60de los babilonios.
A principios
delsiglo XVII, el matemáticoescocésJohn Napierdescubrió loslogaritmosy, gracias a esto, los cálculos
trigonométricos recibieron un gran empuje.
El seno del ángulo B es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa.
Coseno
El coseno del ángulo B es la razón entre el cateto contiguo al ángulo y la hipotenusa.
Tangente
La tangente del ángulo B es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y el cateto contiguo al ángulo.
-Si un ángulo alpha es agudo (menor de 90º) se puede considerar como uno de los ángulos de un triangulo rectángulo, pudiéndose definir una serie de conceptos llamados razones trigonometricas:
El seno y el coseno de un ángulo es siempre menor o igual que
1, ya que el cateto es siempre menor que la hipotenusa, (salvo para
el triángulo degenerado, aquel en el que uno de los catetos mide
0).
La tangente puede tomar cualquier valor, desde cero a infinito (casos
extremos), ya que uno de los catetos puede ser muy pequeño y
el otro muy grande.
El seno, coseno y la tangente de los ángulos, se obtenían
antiguamente empleando unas tablas que se llaman trigonométricas,
actualmente puedes conocer su valor directamente de tu calculadora.
1.- ¿En qué consiste la combinatoria? La combinatoria es una rama de la matemática que estudia la numeración, la construcción y existencia de propiedades que satisfacen ciertas condiciones establecidas.
1.1.-Combinaciones con repetición: Combinaciones con repetición de m elementos tomados de n en n son los grupos de n elementos iguales o distintos que se pueden hacer con los m, de forma que dos grupos se diferencian en algún elemento y no en el orden de colocación. Se representa por CRm,n.
1.2- Combinaciones sin repetición: Combinaciones sin repetición de m elementos tomados de n en n, son los grupos de n elementos distintos que se pueden hacer con los m, de forma que dos grupos se diferencian en algún elemento y no en el orden de colocación. Se representa por Cm,n. (n≤m).
2.- ¿Qué es una permutación? Es una variación del orden o de la disposición de los elementos de un conjunto.
2.1.- Permutaciones con repetición: Permutaciones con repetición de n elementos en las que el primer elemento se repite n1 veces, el segundo se repite n2 veces ... y el último se repite nk veces son los distintos grupos de n elementos que se pueden hacer de forma que en cada grupo, cada elemento aparezca el número de veces indicado y que dos grupos se diferencian únicamente en el orden de colocación. Se representa por Pnn1,n2,...,nk.
2.1.- Permutaciones sin repetición: Permutaciones sin repetición o permutaciones ordinarias de n elementos (de orden n) son los distintos grupos de n elementos distintos que se pueden hacer, de forma que dos grupos se diferencian únicamente en el orden de colocación. Se representa por Pn.
Un conjunto de los datos mediante la estadística permite realizar representaciones gráficas, que informan sobre ese conjunto. Además de los gráficos es conveniente resumir dichos datos en un solo número, que nos describan de una manera sencilla el comportamiento y las características de los datos estudiados.
Esos números que resumen los datos se llaman medidas de centralización. Hay varios, nosotros vamos a estudiar tres: la media, la moda y la mediana
La Media:
Media aritmética:
La media aritmética de una variable se
define como la suma ponderada de los valores de la variable por sus
frecuencias relativas y lo denotaremos por y se calcula mediante la expresión:
xi representa el valor de la variable o en su caso la marca de clase.
Propiedades:
Si multiplicamos o dividimos todas las
observaciones por un mismo número, la media queda multiplicada o
dividida por dicho numero.
Si le sumamos a todas las observaciones un mismo número, la media aumentará en dicha cantidad.
Además de la media aritmética existen otros conceptos de media, como son la media geométrica y la media armónica.
Media geométrica:
Es la raíz N-ésima del producto de los N elementos.
Solo se puede calcular si no hay observaciones negativas. Es una medida estadística poco o nada usual. Es útil para calcular medias de porcentajes, tantos por uno,
puntuaciones o índices. Tiene la ventaja de que no es tan sensible como
la media a los valores extremos.
Media armónica:
La media armónica de N observaciones es la inversa de la media de las inversas de las observaciones y la denotaremos por H.
Al igual que en el caso de la media geométrica su utilización es bastante poco frecuente. Suele utilizarse principalmente para calcular la media de velocidades, tiempos o en electrónica.
Por ejemplo:
Un tren realiza un trayecto de 400km. La vía tiene en mal estado que
no permitían correr. Los primeros 100 km los recorre a 120km/h, los
siguientes 100km la vía está en mal estado y va a 20km/h, los terceros a
100km/h y los 100 últimos a 130km/h. Para calcular el promedio de
velocidades, calculamos la media armónica.
La media armónica es de H=52,61km/h.
La Moda:
Se llama moda al valor de la variable de mayor frecuencia
La moda se puede calcular de todos los tipos de variables aleatorias Si hay más de un valor con mayor frecuencia hay más de una moda.
Por ejemplo:
De
cien personas entrevistadas en la calle 80 llevan falda; 13
pantalones largos y 7 pantalones cortos. ¿Cuál es la moda?
La
moda seria llevar falda.
La Mediana:
La mediana de una colección de datos ordenados de menor a mayor es el valor que está en medio, es decir que la mitad de los datos son mayores que él y la otra mitad son menores que él, si hay un número impar de datos; si el número de datos es par, la mediana es la media aritmética entre los dos valores centrales.
Por lo tanto, la mediana sólo se puede calcular con variables estadísticas de tipo cuantitativo.
Medidas de dispersión:
Al grado en que los datos tienden a extenderse alrededor de la media se le llama variación o dispersión de los datos.
Rango o recorrido:
Es la diferencia entre el valor mayor y el valor menor de la variable estadística.
Por ejemplo:
Los siguientes datos son los tiempos de duración en segundos de 50 conversaciones:
El valor mayor es 404 y el menor es 62; por tanto el rango es 404 - 62 = 342
Desviación media:
Desviación media de una serie de valores es la media aritmética de las diferencias en valor absoluto de cada uno de los valores y la media.
La desviación media es una indicación de cómo están agrupados los datos: si estuviesen muy cercanos unos a otros, situados de forma muy sucesiva, la desviación media sería pequeña; si los datos estuviesen muy lejos unos de otros, o muy desagrupados, por ejemplo formando dos o tres grupos de datos separados entre sí, la desviación media sería grande.
Veamos un ejemplo sencillo para aclarar cuál es el sentido de la desviación media:
Tenemos estos datos: 50, 50
La media es ( 50 + 50 )/ 2 = 50; la desviación media será [| 50 - 50 | + | 50 - 50 | ] / 2= 0
Si ahora consideramos los datos: 25, 75. La media es ( 25 + 75 ) / 2 = 50; es la misma media que con los datos anteriores, pero... la desviación media será [ | 50 - 25 | +| 75 - 25 | ] / 2 = 37,5
Es decir, con la misma media, la desviación media es muy diferente, porque los datos son muy distintos, están situados de forma muy distinta.
Varianza:
Varianza de una serie es la media aritmética de las diferencias al cuadrado de cada uno de los valores y la media; es decir, una vez hallada la media, se halla las diferencias entre cada valor individual y la media, esas medidas se elevan al cuadrado; una vez hecho esto, se suman todas y se dividen entre el número de datos.
La probabilidad es un método por el
cual se obtiene la frecuencia de un acontecimiento determinado
mediante la realización de un experimento aleatorio, del que se
conocen todos los resultados posibles, bajo condiciones
suficientemente estables.
Ley de Laplace es una ley física que
relaciona el cambio de presiones en la superficie que separa dos
fluidos de distinta naturaleza con las fuerzas de línea debidas a
efectos moleculares. En su forma más general se puede expresar como:
Un triángulo que no es rectángulo se le llama
oblicuángulo Oblicuángulo se
contrapone a rectángulo, en sentido estricto. Pero cuando se habla de triángulos
oblicuángulos no se pretende excluir al triángulo rectángulo en el estudio, que
queda asumido como caso particular. No obstante cuando el triángulo es
rectángulo, porque se dice expresamente que lo es, el problema se reduce, tiene
un tratamiento particular y no se aplican las técnicas generales de resolución.
La combinatoria es una rama de la matemática
que estudia la enumeración, construcción y existencia de propiedades de
configuraciones que satisfacen ciertas condiciones establecidas.
CONCEPTOS CLAVES:
-Población: Es el conjunto de elementos que estamos estudiando. Denominaremos con m al número de elementos de este conjunto.
- Muestra: Es un subconjunto de la población. Denominaremos con n al número de elementos que componen la muestra.
>Orden: si es importante que los elementos de la muestra aparezcan ordenados o no.
>Repetición: posibilidad de que se repita o no.
COMBINACIONES
Se llama combinaciones de m elementos tomados de n en n (m ≥ n) a todas las agrupaciones posibles que pueden hacerse con los m elementos de forma que:
No entran todos los elementos.
No importa el orden.
No se repiten los elementos.
También podemos calcular las combinaciones mediante factoriales:
Las combinaciones se denotan por
>EJEMPLO : En una clase de 35 alumnos se quiere elegir un comité formado por tres alumnos. ¿Cuántos comités diferentes se pueden formar?
