martes, 24 de febrero de 2015

Funciones a trozos: Parte Entera, Función Signo y Función Mantisa

Una función es una relación entre dos magnitudes de tal forma que para cada elemento de la primera le corresponde uno y solo un elemento de la segunda.

Las funciones reales de variable real, que son de las que nos ocupamos en esta entrada, se caracterizan porque asocian valores reales de la primera magnitud con valores reales de la segunda.

Funciones a trozos

Una función a trozos es aquella cuya definición (la regla que define la dependencia), llamada regla de correspondencia, cambia dependiendo del valor de la variable independiente

1. Parte Entera
Es una función que a cada número real hace corresponder el número entero inmediatamente inferior.

f(x) = E(x)




 
 
                                                  
 
2. Función Signo

La función signo es una función definida a trozos o función por partes, la cual es representada habitualmente por medio de sgn(x). Obtiene el signo de cualquier número real que se tome por entrada.

En computación, el concepto es idéntico al ya expresado, pero en términos informáticos, orientados a la programación. Así, la función signo es aquella función que devuelve un valor según si un número o el resultado de una expresión es mayor, menor o igual que 0. Suele representarse en la forma SGN(número).

La mayor parte de los lenguajes de programación aplican esta función. No obstante, si no la aplican, es fácilmente construible.


3. Función Mantisa


Originalmente, mantisa se refiere a la diferencia entre un número y su parte entera, es decir, su parte fraccionaria. Su fórmula es: mant(x) = x -

Por ejemplo, en el número decimal 143,6885, la parte entera es 143 y la mantisa es 0,6885.


FUNCIÓN COSENO

 Una función es una relación entre dos magnitudes de tal forma que para cada elemento de la primera le comprende y solo un elemento de la segunda.
Las funciones reales de variable real, que son las que ocupamos en esta entrada, se caracterizan porque asocian valores reales de la primera magnitud con valores reales de la segunda.

Una circunferencia goniométrica sirve para calcular el valor de la función coseno x de cualquier ángulo.

Trigonometría

180º=  π radianes.


Función coseno:
-Definición: f(x)=cosx
El coseno de un ángulo  es igual al cateto contiguo dividido por la hipotenusa.
Se podría decir que es coseno es igual que el seno pero desplazado π /2
  • Gráficamente:
­Para los valores negativos de la variable independiente la gráfica
discurre por el segundo y tercer cuadrante:
­Para los valores positivos de la variable independiente la
gráfica discurre por el primer y cuarto cuadrante:
  • Características:

Dominio: Erre
Recorrido: [-1, 1]
Período: Propiedades
Continuidad: Continua en
Creciente en: Propiedades
Decreciente en: Propiedades
Máximos: Propiedades
Mínimos: Propiedades
Par: cos(-x) = cos x
Cortes con el eje OX:   Propiedades


'Función Coseno'

Los números primos y compuestos


  1. Los números primos

Los números primos son números enteros mayores que cero, que tienen exactamente dos divisores positivos.
Ejemplos
 
a) El 7 es primo. Sus únicos divisores son 1 y 7. Sólo puede expresarse como producto de 7·1.
b) El 15 no es primo. Sus divisores son 1, 3, 5 y 15. Puede expresarse como 3·5 (y también como 15·1)
Los 25 primeros números primos son 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 y 97, que son todos los primos menores que 100.

  1. Los números compuestos

Los números compuestos son números aue se pueden dividir exactamente entre otros números adémas de 1 y él mismo.
Ejemplo: 
 
a) El número 8 es compuesto porque se puede dividir por 1, 2, 4 y 8.











Claire Havet. 4 ESO A

FUNCIÓN SENO.

 Una función es una relación entre dos magnitudes de tal forma que para cada elemento de la primera le comprende y solo un elemento de la segunda.
Las funciones reales de variable real, que son las que ocupamos en esta entrada, se caracterizan porque asocian valores reales de la primera magnitud con valores reales de la segunda.

Una circunferencia goniométrica sirve para calcular el valor de la función seno x de cualquier ángulo.

180º=  π radianes.

-Dominio:Erre 

-Recorrido: [-1, 1] 

-Período: Propiedades 

-Continuidad: Continua en  

-Creciente en:  

-Decreciente en: 

-Máximos:  

-Mínimos:  

-Impar: sen(-x) = -sen x 

-Cortes con el eje OX:

 -Imagen:
Función


Numeros famosos

1.- Número Pi:

1.1.- ¿Qué es el número π?

El número Pi se representa con el símbolo π. Es la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro en geometría. Es un número irracional y una de las constantes matemáticas más importantes. Se utiliza frecuentemente en matemáticas, física e ingeniería.

1.2.- Curiosidades; Reglas mnemotécnicas del numero π:

- Una forma de memorizar los 20 primeros dígitos es con este curioso poema:
 
Soy y seré a todos definible
mi nombre tengo que daros
cociente diametral siempre inmedible
soy de los redondos aros.
 
- Otra versión de como enumerar los 27 primeros dígitos:
"¿Qué? ¿Y cómo π reúne infinidad de cifras? ¡Tiene que haber períodos repetidos! Tampoco comprendo que de una cantidad poco sabida se afirme algo así, tan atrevido!" Nótese que para el segundo 1 (3,14159...) se utiliza la letra griega π.
 
- Hay un tercer poema:
Voy a amar a solas, deprimido
no sabrán jamás que sueño hallarte,
perímetro difícil, escondido
que en mis neuronas late...
Oscuro el camino para ver
los secretos que tú ocultas
¿hallarlos podré?...
 
2.- Número e:
 
2.1.- ¿Qué es el número e?
El número e es uno de los más importantes números reales. Este se conoce como el número de Euler o constante de Napier y utilizado por primera vez por el matematico escocés John Napier.
2.2.- La más importante representacion de e:
En cursos básicos de cálculos es un limite:
 
3.- Número de Oro:
 
3.1.- ¿Qué es el número de oro?
El número áureo también llamado número de oro, razón extrema y media, razón áurea, razón dorada, media áurea, proporción áurea y divina proporción. Es un número irracional representado con la letra griega φ en honor al escultor griego Fidias.

3.2.-¿Cómo se calcula el valor del número áureo?
  Dos números a y b están en proporción áurea si se cumple:
 
Si es igual a entonces la ecuación queda:
Multiplicando ambos miembros por el numero aureo, obtenemos:
Igualamos a cero:

martes, 17 de febrero de 2015

m.c.m y M.C.D


Un múltiplo de un número “a” se obtiene multiplicando a ese número o por los números naturales ó el cero.
Por ejemplo;
los múltiplos de 5 son: 5,10,15,20,25,30...

Un divisor de un número “a” se obtiene de los números naturales que al dividir da de resto 0 .
Por ejemplo:
los divisores de 40 son: 1,2,4,5,8,10...40

El m.cm ( minimo común múltiplo) es la multiplicación de los números comunes y no comunes al mayor exponente

Por ejemplo:
El m.c.m de ( 12;6,3) es 12.

El M.C.D ( maximo común divisor) es la multiplicación de los números comunes al menor exponente.
Por ejemplo:
El M.C.D de ( 10,20,30) es 10.



ALBA PAREJA RAMÍREZ 4ºESOA

Incentro de un triángulo.


 ¿ Qué es un triángulo ?

Un triángulo es una figura plana compuesta por tres segmentos que determinan tres puntos del plano. Cada uno de ellos pertenece a dos segmentos, dichos puntos comunes son denominados vértices y los segmentos de recta son sus lados. Un triángulo tiene 3 ángulos interiores, 3 ángulos exteriores, 3 lados y 3 vértices.

¿ Qué es el incentro de un triángulo ?

El incentro de un triángulo es el punto de corte de las tres bisectrices interiores de un triángulo.

¿ Cómo se representa ?

Por lo que para representarlo gráficamente debemos dibujar las tres bisectrices, localizar el punto de intersección de las mismas y dibujar la circunferencia inscrita, que sólo toca al triángulo en tres puntos, uno por cada lado.
Claire Havet.4ºESO

Criptografía


Criptografía
¿Qué es?

Criptografía (literalmente «escritura oculta»)es un término genérico que describe todas las técnicas que permiten cifrar mensajes o hacerlos ininteligibles sin recurrir a una acción específica. El verbo asociado es cifrar. Se basa en la aritmética.

Si se intenta descifrar el mensaje sin conocer la clave y sin permiso del remitente hablamos de criptoanálisis.

La criptología es la ciencia que estudia los aspectos científicos de estas técnicas, es decir, combina la criptografía y el criptoanálisis.

En nuestros días, en el caso de un texto, consiste en transformar las letras que conforman el mensaje en una serie de números (en forma de bits ya que los equipos informáticos usan el sistema binario) y luego realizar cálculos con estos números para:

-Modificarlos y hacerlos incomprensibles para cualquiera que no tenga la clave de cifrado.

-Asegurarse que solo el receptor pueda descifrarlos.

Las claves de cifrado pueden ser de dos tipos:

Simétricas: son las claves que se usan tanto para el cifrado como para el descifrado. En este caso hablamos de cifrado simétrico o cifrado con clave secreta.

Asimétricas: son las claves que se usan en el caso del cifrado asimétrico (también llamado cifrado con clave pública). En este caso, se usa una clave para el cifrado y otra para el descifrado.
Crypto

Cuando nos conectamos a servicios como Gmail, estamos estableciendo una comunicación segura y, por tanto, cifrada entre nuestro ordenador (o nuestro dispositivo móvil) y los servidores de Google. Cuando realizamos una llamada telefónica desde nuestro terminal móvil, la secuencia de datos que generamos también está cifrada y, de esta forma, se evita que alguien no autorizado pueda estar a la escucha e interceptar nuestras comunicaciones.
Métodos de la antigüedad:

Este arte se remonta a mucho antes de los habituales referentes, Alan Turing o la NSA, ya en la Biblia se hace refencia a un sistema de sustitución de letras llamado Atbash. También en la Ilíada de Homero se hace referencia al cifrado de mensajes.

Los espartanos también usaban la criptografía para proteger sus mensajes; concretamente, una técnica que consistía en enrollar un pergamino sobre una estaca (llamada escítala) que servía para ordenar las letras y mostrar el mensaje. Para poder descifrarlo, el receptor debía contar con una escítala del mismo diámetro que la que había usado el emisor (criptografía simétrica) porque era la única forma de visualizar el mensaje de la misma forma.

De la Antigua Roma procede el conocido como cifrado César que, como bien indica su nombre, su uso se atribuye al mismo Julio César. Este cifrado se basa en el desplazamiento de letras y, por tanto, cada letra del texto original se sustituye por otra letra. En este caso se usaba un desplazamiento de tres letras.
 


En el siglo IX, Al-Kindi sentaría una de las bases fundamentales para "romper mensajes cifrados" gracias al estudio del Corán; el análisis de frecuencia (una técnica que se usó durante la Segunda Guerra Mundial) se basaba en analizar patrones en los mensajes cifrados para localizar repeticiones y buscar la correlación con la probabilidad de que aparezcan determinadas letras en un texto escrito en un idioma concreto.

En el Renacimiento tiene su origen el que sigue siendo "el gran reto" de los descifradores de códigos: el Manuscrito Voynich, un libro cuyo contenido es aún ininteligible y cuyo código no se ha podido romper.

Durante la Segunda Guerra Mundial:

La criptografía fue clave durante la Segunda Guerra Mundial y, de hecho, hizo cambiar el curso de la guerra. Alemania había conseguido dominar el Atlántico Norte y sus comunicaciones eran indescifrables gracias a la máquina Enigma.

Quizás el trabajo de Alan Turing y los Aliados sea la labor más conocida sobre criptografía durante la Segunda Guerra Mundial; sin embargo no fue el único. El Cuerpo de Marines de Estados Unidos contaba entre sus filas con medio millar de nativos americanos que servían como operadores de radio y cifraban, en su lengua nativa, los mensajes a transmitir para que el ejército japonés no pudiese entender nada de lo que se transmitía.
Estatua de Alan Turing en Bletchley Park, realizada por Stephen Ketlle en 2007. Richard Gillin 


Después de la segunda guerra mundial:

Después de la Segunda Guerra Mundial, la criptografía dio un gran salto gracias a Claude Shannon, conocido como el padre de la teoría de la comunicación. Si bien es cierto que el análisis de frecuencia se basaba en la estadística, Shannon demostró matemáticamente este hecho e introdujo el concepto de “distancia de unicidad” que marcaba la longitud de un texto cifrado que se necesita para poder descifrarlo.

La explosión de la computación convirtió a los computadores en un instrumento clave dentro del cifrado y descifrado de mensajes; por tanto, por seguridad, la mayoría de países consideraron la criptografía como algo secreto, vinculado a tareas de inteligencia y espionaje. Desde mediados de los años 50 hasta mediados de los 70, la NSA acaparó y bloqueó cualquier tipo de publicación o estudio sobre criptografía en Estados Unidos.

Hasta el 17 de marzo de 1975 no llegaría el primer "avance público". IBM desarrolló el algoritmo de cifrado Data Encryption Standard (DES) que, dos años más tarde, se convertiría en un Federal Information Processing Standard (FIPS 46-3) y se extendería su uso por todo el mundo. En el año 2001, DES cedería su puesto a Advanced Encryption Standard (AES) que, tras 5 años de revisión, se convirtió en un estándar. En los años 70 también se descubrió la criptografía asimétrica, hoy fundamental para transacciones realizadas a través de Internet, por ejemplo, en páginas que usan el protocolo HTTPS o para cifrar nuestros mensajes usando PGP (que combina tanto criptografía asimétrica como criptografía asimétrica).

Qué-es-la-Criptografía

Primos de Fermat, Mersenne y Sophie Germain.

Un número primo es un número natural mayor que 1 que tiene únicamente dos divisores distintos: él mismo y el 1. Los compuestos son  aquellos que tienen por lo menos un divisor natural distinto de sí mismos y de 1. El número 1, por convenio, no se considera ni primo ni compuesto.

 +Fermat (17 agosto 1601/12 enero 1665) fue un jurista y matemático francés apodado por Eric Temple Bell con el sobrenombre de 'príncipe de los aficionados'.Fermat fue junto con René Descartes uno de los principales matemáticos de la primera mitad del siglo XVII.


-El teorema de Fermat es uno de los teoremas clásicos de teoría de números relacionado con la divisibilidad. Se formula de la siguiente manera:
Si p es un número primo, entonces, para cada número natural a, con a>0 , apa (mod p)





+Mersenne (8 septiembre 1588/1 septiembre 1648)fue un filósofo francés del siglo XVII que estudió diversos campos de la teología, matemáticas y la teoría musical.


-Se dice que un número M es un número de Mersenne si es una unidad menor que una potencia de 2. M_n=2^n-1.
Un número primo de Mersenne es un número de Mersenne que es primo, es decir, M_n=2^n-1, con n primo (no es una condición suficiente que n sea primo para que M_n lo sea).




+Shopie Germain (1 abril 1776/ 27 junio 1831) fue una matemática francesa que hizo importantes contribuciones a la teoría de números y la teoría de la elasticidad. Uno de los más importantes fue el estudio de los que posteriormente fueron nombrados como números primos de Sophie Germain (números primos cuyo doble incrementado en una unidad es también un número primo)


-Un númeroprimo p es un número primo de Sophie Germain si 2p+1 también es un número primo. Ejemplo: con p=2, 2x2+1=5 que también es un número primo. Los números primos de Shophie Germain recibieron su nombre por la matemática francesa que demostró que el Último teorema de Fermat era cierto para estos números: si p es un número primo de estas características distinto a 2 entonces no existen soluciones enteras no triviales para la ecuación x^p+y^p=z^p.

NUMEROS ENTEROS


Los números enteros (designados por ℤ) son un conjunto de números que incluye a los números naturales distintos de cero (1, 2, 3, ...), los negativos de los números naturales (..., −3, −2, −1) y al 0.

La recta numérica

Los números enteros negativos son más pequeños que todos los positivos y que el cero. Para entender como están ordenados se utiliza la recta numérica:
Integers-line.svg
Se ve con esta representación que los números negativos son más pequeños cuanto más a la izquierda, es decir, cuanto mayor es el número tras el signo.


         Suma

  • Para sumar dos números enteros de igual signo, sumamos los valores absolutos y el signo del resultado coincide con el signo que tienen los dos números.
    Ejemplos:
       2+2=4

    Resta

     
  •  Para restar dos números sumamos al primer número (minuendo) el opuesto del segundo (sustraendo).
    Ejemplos:                                                                                                                 (4)+(-2)=2
Alba Fernández Trujillo

lunes, 16 de febrero de 2015

Intervalos

Un intervalo es una parte de la recta real comprendida entre dos valores. Es un conjunto medible y tiene la misma cardinalidad de la recta real. Para expresarlos podemos utilizar o bien corchetes y corchetes internos o bien paréntesis.
Ejemplos: [2,4] ; ]-2,5]

Hay distintos tipos de intervalos.
Intervalos abiertos: En los cuales los extremos no están incluidos.
Intervalos cerrados: En los cuales los extremos si están incluidos.
Intervalos infinitos: Incluyen extremos infinitos.


Operaciones con intervalos: 

Pueden ser:
  -Intersección: Cuando se unen los puntos comunes en dos intervalos.
  -Unión: Cuando se unen dos intervalos.

Ejemplo de intersección

 
Ejemplo de unión



Realizado por: Adrián López Nieto





Números Complejos

Los números complejos forman parte de los números reales. El conjunto de los números complejos se designa como C, siendo R el conjunto de los reales se cumple que C contiene a R. Los números complejos incluyen todas las  raíces de los polinomios, a diferencia de los reales. Todo número complejo puede representarse como la suma de un número real y un número imaginario (que es un múltiplo real de la unidad , que se indica con la letra i), o en forma polar.

Ejemplos:
Realizado por:
Jesús Sáez Medina

sábado, 14 de febrero de 2015

Números racionales


Los meros racionales, son el conjunto de números fraccionarios y números enteros representados por medio de fracciones. Este conjunto está situado en la recta real numérica pero a diferencia de los números naturales que son consecutivos.
Propiedades de los números racionales: suma y resta
1. Propiedad interna: según la cual al sumar dos números racionales, el resultado siempre será otro número racional, aunque este resultado puede ser reducido a su mínima expresión si el caso lo necesitara.
2. Propiedad asociativa: se dice que si se agrupa los diferentes sumandos racionales, el resultado no cambia y seguirá siendo un número racional.
3. Propiedad conmutativa: donde en la operación, si el orden de los sumando varía, el resultado no cambia.
4. Elemento neutro: el elemento neutro, es una cifra nula la cual si es sumada a cualquier número racional, la respuesta será el mismo número racional.
5. Inverso aditivo o elemento opuesto: es la propiedad de números racionales según la cual, existe un elemento negativo que anula la existencia del otro. Es decir que al sumarlos, se obtiene como resultado el cero.
Propiedades de los números: multiplicación y división
1. Propiedad interna: en razón de que al multiplicar números racionales, el resultado también es un número racional.
2. Propiedad asociativa: donde al agrupar diferentes factores la forma de la agrupación, no altera el producto.
3. Propiedad conmutativa: aquí se aplica la famosa frase, el orden de los factores no altera el producto, entre los números racionales también funciona.
4. Propiedad distributiva: al combinar sumas y multiplicaciones, el resultado es igual a la suma de los factores multiplicado por cada uno de los sumandos.
5. Elemento neutro: en la multiplicación y la división de números racionales, existe un elemento neutro que es el número uno, cuyo producto o cociente con otro número racional, dará como resultado el mismo número.

Cristina Romero Anguita




martes, 10 de febrero de 2015

Números amigos, perfectos, sociables y abundantes.



Podemos calificar a los números de muchas maneras. Hay muchas propiedades de los números que hacen que cuando alguno las cumple se le denomine de cierta forma;

Número perfecto: todo número natural que es igual a la suma de sus divisores propios (es decir, todos sus divisores excepto el propio número). Por ejemplo, 6 es un número perfecto ya que sus divisores propios son 1, 2, y 3 y se cumple que 1+2+3=6. Los números 28, 496 y 8128 también son perfectos.

Números amigos: parejas de números que cumplen que la suma de los divisores propios de cada uno de ellos da como resultado el otro número. Por ejemplo, 220 y 284 son números amigos.

Números sociables: cumplen lo mismo que los números amigos pero en vez de ir en parejas van en grupos más grandes. La suma de los divisores del primer número da el segundo, la suma de los del segundo da el tercero, y así sucesivamente. La suma de los divisores del último da el primer número de la lista. Por ejemplo los números 12496, 14288, 15472, 14536 y 14264 son números sociables.

Número abundante: todo número natural que cumple que la suma de sus divisores propios es mayor que el propio número. Por ejemplo, 12 es abundante ya que sus divisores son 1, 2, 3, 4 y 6 y se cumple que 1+2+3+4+6=16, que es mayor que el propio 12.
 

Banda de Möebius.

Es una superficie con una sola cara y un solo borde. Tiene la propiedad matemática de ser un objeto no orientable.Fue descubierta en forma independiente por los matemáticos Alemanes August Ferdinand Möebius y Johann Benedict Listing en 1858.


-Para construir una cinta de Möebius, se toma una tira de papel y se pegan los extremos dando media vuelta a uno de ellos.



Potencias

 Una potencia en matemáticas es un número elevado a otro.
Si el exponente de la potencia es un número natural: 
-La base de la potencia es el número que multiplicamos por sí mismo.
-El exponente de una potencia indica el número de veces que multiplicamos la base.

Si la base de la potencia es negativa:

-Si la base es negativa y el exponente es par, el resultado es positivo.
-Si la base es negativa y el exponente es impar, el resultado es negativo.

Potencia de exponente negativo.

La potencia de un número con exponente negativo es el igual al inverso del número elevado a exponente positivo.

Potencia de exponente racional.

Una potencia de exponente fraccionario se puede transformar en una raíz cuyo:
-Índice es el denominador.
-Radicando es la base elevada al numerador.
Por lo tanto al resolver una potencia con exponente racional quedaría:




Propiedades de las potencias.
Un número elevado a 0.
potencias num naturales    

Un número elevado a 1.
potencias num naturales   

Producto de potencias con la misma base.
 potencias misma base  

División de potencias con la misma base.
 potencias 

Potencia de una potencia.
potencias 

Producto de potencias con el mismo exponente.
potencias 

Cociente de potencias con el mismo exponente.
potencias