RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS. CIRCUNFERENCIA GONIOMÉTRICA.

Con la circunferencia goniométrica podemos averiguar el signo de cualquier ángulo de las razones trigonométricas, según el cuadrante en el que estén.

Primer cuadrante (0º-90)

Coseno +

Seno +

Tangente +

Segundo cuadrante (90º-180º)

Coseno -

Seno +

Tangente –

Tercer cuadrante (180º-270º)

Coseno -

Seno -

Tangente +

Cuarto cuadrante (270º-360º)

Coseno +

Seno -

Tangente - 

Realizado por: Jesús Sáez Medina

Historia de la trigonometría

Historia de la trigonometría

La trigonometría es una rama de las tantas ramas de matemáticas, se encarga de estudiar y analizar la relación entre los lados y los ángulos de los triángulos. Para esto recurre generalmente a las llamadas razones trigonométricas. El origen de la palabra trigonometría desciende del griego “trigonos” (triángulo) y “metros” (metria).

Los inicios:

Hace unos 4000 años en Babilonia (antiguo reino localizado en la región de Mesopotamia) y Egipto se determinó y establecieron aproximaciones de medidas de ángulos y de longitudes de los lados de los triángulos rectángulos para ampliar y desarrollar medidas tanto en la agricultura como en la construcción de pirámides. Los egipcios fijaron la medida de los ángulos en grados, minutos y segundos. Además se utilizaba la trigonometría para el estudio de la astronomía. Antiguamente la astronomía se ocupaba de la observación y predicciones de los movimientos de los objetos visibles a simple vista y en el estudio de la predicción de sus rutas y posiciones, para luego progresar y perfeccionar la exactitud en la navegación y el cálculo del tiempo así como los calendarios. La astronomía precolombina poseía calendarios muy puntuales y las pirámides de Egipto fueron construidas sobre patrones astronómicos muy exactos y puntuales.

Grecia, India y Arabia:

Posteriormente, el estudio de la trigonometría se asentó en Grecia, donde podemos nombrar al matemático y astrónomo Griego Hiparco de Nicea, uno de los principales desarrolladores de la Trigonometría. Este matemático construyó una tabla de cuerdas para solucionar triángulos. Comenzando con un ángulo de 71° y aproximándose hasta 180° con ampliaciones de 71°, la tabla facilitaba la longitud de la cuerda limitada por los lados del ángulo central ya que fragmentaba a una circunferencia de radio r. Hasta el momento no se conoce el valor que Hiparco utilizó para r. 300 años mas tarde, el astrónomo griego Tolomeo utilizó r = 60, ya que los griegos tomaron el sistema numeral (base 60) que era usado por los babilonios. Durante varios siglos, la trigonometría de Tolomeo fue la introducción primordial para los astrónomos. El teorema de Menelao utilizado para resolver triángulos esféricos fue también obra de Tolomeo.

En India y Arabia la trigonometría era utilizada en la Astronomía. El primer uso de la función seno, aparece en el Shulba o Sulba Sutras escrito en India del siglo VIII al VI a. C. A finales del siglo X ya habían se habían completado la función seno y las otras cinco funciones trigonométricas.
 

Europa: (A partir del S XII)

En el siglo XII comienzan a aparecer en Europa traducciones de libros de matemáticas y astronomía árabes. El primer trabajo significativo en esta materia fue escrito por el matemático y astrónomo alemán Johann Müller. Se le considera fundador y un importante innovador en esta materia, puesto que detalla y crea varias herramientas de gran utilidad, así como importantes tratados en los que explica, analiza y muestra la obra de Tolomeo.

Durante el siglo XII el astrónomo alemán Georges Joachim, introdujo el concepto moderno de las funciones trigonométricas como proporcionales en vez de longitudes de algunas determinadas líneas. Ya en el siglo XVI el matemático francés François Vieté, incorpora en su tratado “Canon matemáticas” el triángulo polar en la trigonometría esférica.

A comienzos del siglo XVII, el matemático escocés John Napier descubrió los logaritmos que el llamó “números artificiales”. Esto fue trascendental en el desarrollo de la trigonometría.

A mediados del siglo XVII el físico, inventor, alquimista y matemático inglés, Isaac Newton descubre el cálculo diferencial e integral. También contribuyó en otras áreas de la matemática, por ejemplo desarrollando el teorema del binomio o las fórmulas de Newton-Cotes.

En el siglo XVIII, el físico y matemático suizo Leonhard Euler, explicó que las propiedades de la trigonometría eran consecuencia de la aritmética de los números complejos. Estudió además la notación actual de las funciones trigonométricas y se le atribuye el descubrimiento de la letra e como base del logaritmo natural, así como la unidad imaginaria que generalmente se denota con la letra i. Euler también popularizó El número pi ( π ).

Resolución de Triángulos Oblicuángulos. Teorema del seno.

1.- Triángulo Oblicuángulo: Es aquel que no es recto ninguno de sus ángulos, por lo que no se puede resolver directamente por el teorema de Pitágoras, el triángulo oblicuángulo se resuelve por leyes de senos y de cosenos, así como el que la suma de todos los ángulos internos de un triángulo suman 180 grados.

2.- Teorema del seno:

• Para sacar cualquier lado:
  
  
  
  
• Para obtener un ángulo: 
  
  
  

medidas angulares, grados centesimales, sexagesimales y radianes

Se entiende por sistemas de medición angular a la clase de mediciones sobre un arco de circunferencia. Son un capítulo básico en el estudio de la trigonometría, para comprender estos sistemas se debe saber el concepto de ángulo trigonométrico. En este sistema de medición angular utilizamos el ángulo como posición de vértice en ángulo C. Por ejemplo: el ángulo C es un vértice 0 que se suma a la circunferencia de C+A que llega a un total de C+A= 360º

Un ángulo se puede medir en el sistema sexagesimal y divides el ángulo de 1º en 60 partes, 60 minutos, y 1` minuto en 60 segundos, Si trabajas en el centesimal, divides 1 grado en 100 partes, 100 minutos centesimales, no se utiliza.

Ejemplo: 0,5º sería la mitad de un grado sistema centesimal = a 30 minutos, la mitad de un grado en el sexagesimal. 

puedes convertir un valor sexag. en otro centesimal y viceversa con una simple regla de tres: si 1 grado son 60 mi. 0,x grados centesimales serán X minutos sexagesimales. Cuando utilizas la calculadora te da el resultado en el sistema centesimal 12,25º que corresponden a 12º 15´, quiere decir que 0,25º = 15´

Se define el radian como el ángulo que en una circunferencia subtiende respecto del centro O un arco MN con igual longitud que el radio r. En general, si tenemos una circunferencia de radio r,   y un cierto ángulo a subtendiendo un arco de longitud s, el cociente s/r nos da el valor de ese ángulo en radianes.Por otra parte, nosotros conocemos que la mitad de la circunferencia corresponde a un arco de longitud pr, mitad que equivale a un ángulo de 180° , lo cual nos permite hacer transformaciones entre radianes y ángulos:   Por ejemplo, ¿ cuántos radianes son 30° ?.    Respuesta:   considerando la relación      tenemos que x = p/6   radianes.

Grados centisimales es una unidad de medida de ángulos planos, alternativa al grado sexagesimal y, como este, no perteneciente al Sistema Internacional de Unidades, cuyo valor se define como el ángulo central subtendido por un arco cuya longitud es igual a 1/400 de la circunferencia. La circunferencia se divide, por tanto, en 400 gon y un ángulo recto en cien gon, lo que permite determinar que un grado centesimal equivale a nueve décimas partes del grado sexagesimal
REALIZADO POR: Alba Fernández y Alba Pareja

Probabilidad

Pierre de Fermat descubrió el cálculo diferencial antes que Newton y Leibniz, fue cofundador de la teoría de probabilidades junto a Blaise Pascal e independientemente de Descartes, descubrió el principio fundamental de la geometría analítica. Sin embargo, es más conocido por sus aportaciones a la teoría de números en especial por el conocido como último teorema de Fermat, que preocupó a los matemáticos durante aproximadamente 350 años, hasta que fue demostrado en1995por Andrew Wiles ayudado por Richard Taylor sobre la base del Teorema de Shimura-Taniyama.





Andréi Kolmogórov fue un matemático ruso que hizo progresos importantes en los campos de la teoría de la probabilidad y de la topología. En particular, estructuró el sistema axiomático de la teoría de la probabilidad a partir de la teoría de conjuntos, donde los elementos son eventos. Trabajó al principio de su carrera en lógica constructivista y en las series de Fourier




Blaise Pascal matemático. Sus contribuciones a las matemáticasy lasciencias naturales incluyen el diseño y construcción de calculadoras mecánicas, aportes a la teoría de la probabilidad, investigaciones sobre los fluidos y la aclaración de conceptos tales como la presión y el vacío.


La probabilidad es un método por el cual se obtiene la frecuencia de un acontecimiento determinado mediante la realización de un experimento aleatorio, del que se conocen todos los resultados posibles, bajo condiciones suficientemente estables.
La teoría de la probabilidad se usa extensamente en áreas como la estadística, la física, la matemática, las ciencias y la filosofía para sacar conclusiones sobre la probabilidad discreta de sucesos potenciales y la mecánica subyacente discreta de sistemas complejos, por lo tanto es la rama de las matemáticas que estudia, mide o determina a los experimentos o fenómenos aleatorios.

REALIZADO POR: ALBA PAREJA RAMÍREZ

Historia de la trigonometría

Historia de la trigonometría

La historia de la trigonometría comienza con los babilonios y los egipcios. Estos últimos establecieron la medida de los ángulos en grados, minutos y segundos. Sin embargo, en los tiempos de la Grecia clásica, en el siglo II a.C. el astrónomo Hiparco de Nicea construyó una tabla de cuerdas para resolver triángulos. Comenzó con un ángulo de 71° y yendo hasta 180° con incrementos de 71°, la tabla daba la longitud de la cuerda delimitada por los lados del ángulo central dado que corta a una circunferencia de radio r. No se sabe el valor que Hiparco utilizó para r.

Tres siglos después, el astrónomo Tolomeo utilizó r = 60, pues los griegos adoptaron el sistema numérico base 60 de los babilonios.

A principios del siglo XVII, el matemático escocés John Napier descubrió los logaritmos y, gracias a esto, los cálculos trigonométricos recibieron un gran empuje.

A mediados del siglo XVII, los científicos Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz desarrollaron el Cálculo diferencial e integral. Uno de los fundamentos del trabajo de Newton fue la representación de muchas funciones matemáticas utilizando series infinitas de potencias de la variable x. Newton encontró la serie para sen x y series similares para cos xy tg x. Por último, en el siglo XVIII, el matemático suizo Leonhard Euler demostró que las propiedades de la trigonometría eran producto de la aritmética de los números complejos.

Cristina Romero Anguita 4ºC

Razones trigonometricas de un angulo. Razones de ángulos fundamentales.

 

 

Seno

El seno del ángulo B es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa.

Coseno

El coseno del ángulo B es la razón entre el cateto contiguo al ángulo y la hipotenusa.

Tangente

La tangente del ángulo B es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y el cateto contiguo al ángulo. 

-Si un ángulo alpha es agudo (menor de 90º) se puede considerar como uno de los ángulos de un triangulo rectángulo, pudiéndose definir una serie de conceptos llamados razones trigonometricas:

1. El seno y el coseno de un ángulo es siempre menor o igual que 1, ya que el cateto es siempre menor que la hipotenusa, (salvo para el triángulo degenerado, aquel en el que uno de los catetos mide 0).
2. La tangente puede tomar cualquier valor, desde cero a infinito (casos extremos), ya que uno de los catetos puede ser muy pequeño y el otro muy grande.
3. El seno, coseno y la tangente de los ángulos, se obtenían antiguamente empleando unas tablas que se llaman trigonométricas, actualmente puedes conocer su valor directamente de tu calculadora.
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS

Las razones trigonométricas inversas son los inversos multiplicativos de las razones trigonométricas. Éstas son:

• Cosecante (csc): es la razón inversa del seno. Es decir, csc α · sen α=1.
• Secante (sec): la razón inversa del coseno. Es decir, sec α · cos α=1
• Cotangente (cot): es la razón inversa de la tangente. También en este caso, cot α · tan α=1

 DEFINICIONES:
  

Cosecante: de α. Se define como la razón entre la hipotenusa (c) y el vateto opuesto (a): 

Secante: de α. Se define como la razón entre la hipotenusa(c) y el cateto contiguo (b):




                           

Cotangente: de α. Se define como la razón entre el cateto contiguo (b) y el cateto opuesto(a):


                          



 RAZONES DE ÁNGULOS FUNDAMENTALES:

MARÍA ÁLVAREZ MURCIA- 4ºA

Relaciones Trigonométricas Fundamentales. Identidades fundamentales.

En un triángulo rectángulo, podemos encontrar distintas relaciones trigonométricas: seno, coseno, cotangente, tangente, etc.

Las fundamentales son:

-Seno: El seno del triángulo de ángulo A es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa.

-Coseno: El coseno del triángulo de ángulo A es la razón entre el cateto contiguo y la hipotenusa.

-Tangente: La tangente del triángulo de ángulo A es la razón entre el cateto opuesto y el contiguo.

Las relaciones trigonométricas fundamentales se pueden relacionar entre sí mediante distintas fórmulas, como las siguientes:

cos² α + sen² α = 1

sec² α = 1 + tg² α

cosec² α = 1 + cotg² α 

Tabla de razones trigonométricas de algunos ángulos.

Realizado por: Adrián López Nieto 4ºB

Combinaciones y Permutaciones.

   1.- ¿En qué consiste la combinatoria? La combinatoria es una rama de la matemática que estudia la numeración, la construcción y  existencia de propiedades que satisfacen ciertas condiciones establecidas.

       1.1.-Combinaciones con repetición:  Combinaciones con repetición de m elementos tomados de n en n son los grupos de n elementos iguales o distintos que se pueden hacer con los m, de forma que dos grupos se diferencian en algún elemento y no en el orden de colocación. Se representa por CRm,n.

        1.2- Combinaciones sin repetición: Combinaciones sin repetición de m elementos tomados de n en n, son los  grupos de n elementos distintos que se pueden hacer con los m, de forma que dos grupos se diferencian en algún elemento y no en el orden de colocación. Se representa por Cm,n. (n≤m).

   2.- ¿Qué es una permutación? Es una variación del orden o de la disposición de los elementos de un conjunto.

       2.1.- Permutaciones con repetición: Permutaciones con repetición de n elementos en las que el primer elemento se repite n1 veces, el segundo se repite n2 veces ... y el último se repite  nk veces son los distintos grupos de n elementos que se pueden hacer de forma que en cada grupo, cada elemento aparezca el número de veces indicado y que dos grupos se diferencian únicamente en el orden de colocación. Se representa por Pnn1,n2,...,nk.

       2.1.- Permutaciones sin repetición: Permutaciones sin repetición o permutaciones ordinarias de n elementos (de orden n) son los distintos grupos de n elementos distintos que se pueden hacer, de forma que dos grupos se diferencian únicamente en el orden de colocación. Se representa por Pn.

María José Castillo Peinado.

Medidas de centralización y dispersión

Medidas de centralización:

Un conjunto de los datos mediante la estadística permite realizar representaciones gráficas, que informan sobre ese conjunto. Además de los gráficos es conveniente resumir dichos datos en un solo número, que nos describan de una manera sencilla el comportamiento y las características de los datos estudiados.

Esos números que resumen los datos se llaman medidas de centralización. Hay varios, nosotros vamos a estudiar tres: la media, la moda y la mediana

La Media:

Media aritmética:

La media aritmética de una variable se define como la suma ponderada de los valores de la variable por sus frecuencias relativas y lo denotaremos por y se calcula mediante la expresión:

x_i representa el valor de la variable o en su caso la marca de clase.

Propiedades:

Si multiplicamos o dividimos todas las observaciones por un mismo número, la media queda multiplicada o dividida por dicho numero.

Si le sumamos a todas las observaciones un mismo número, la media aumentará en dicha cantidad.

Además de la media aritmética existen otros conceptos de media, como son la media geométrica y la media armónica.

Media geométrica:

Es la raíz N-ésima del producto de los N elementos. 

Solo se puede calcular si no hay observaciones negativas. Es una medida estadística poco o nada usual. Es útil para calcular medias de porcentajes, tantos por uno, puntuaciones o índices. Tiene la ventaja de que no es tan sensible como la media a los valores extremos.

Media armónica:

La media armónica de N observaciones es la inversa de la media de las inversas de las observaciones y la denotaremos por H.

Al igual que en el caso de la media geométrica su utilización es bastante poco frecuente. Suele utilizarse principalmente para calcular la media de velocidades, tiempos o en electrónica.

Por ejemplo:

Un tren realiza un trayecto de 400km. La vía tiene en mal estado que no permitían correr. Los primeros 100 km los recorre a 120km/h, los siguientes 100km la vía está en mal estado y va a 20km/h, los terceros a 100km/h y los 100 últimos a 130km/h. Para calcular el promedio de velocidades, calculamos la media armónica.



La media armónica es de H=52,61km/h.

 

La Moda:

 

Se llama moda al valor de la variable de mayor frecuencia

La moda se puede calcular de todos los tipos de variables aleatorias Si hay más de un valor con mayor frecuencia hay más de una moda.

 Por ejemplo:

De cien personas entrevistadas en la calle 80 llevan falda; 13 pantalones largos y 7 pantalones cortos. ¿Cuál es la moda?

La moda seria llevar falda.

La Mediana:

 

La mediana de una colección de datos ordenados de menor a mayor es el valor que está en medio, es
decir que la mitad de los datos son mayores que él y la otra mitad son menores que él, si hay un
número impar de datos; si el número de datos es par, la mediana es la media aritmética entre los dos
valores centrales.

Por lo tanto, la mediana sólo se puede calcular con variables estadísticas de tipo cuantitativo.

 

 

Medidas de dispersión:

 

Al grado en que los datos tienden a extenderse alrededor de la media se le llama variación o dispersión de los datos.

 

 Rango o recorrido:

 

Es la diferencia entre el valor mayor y el valor menor de la variable estadística.

 

Por ejemplo:

Los siguientes datos son los tiempos de duración en segundos de 50 conversaciones: 

 

125, 65, 80, 97, 325, 400, 98, 74, 90, 120, 240, 85, 370, 135, 78, 326, 282, 145,
192, 64, 108, 324, 207, 183, 94, 62, 315, 217, 192, 106, 78, 89, 207, 70, 69,
402, 68, 108, 361, 304, 273, 181, 91, 107, 404, 315, 125, 106, 176, 207           

¿Cual es el rango?

El valor mayor es 404 y el menor es 62; por tanto el rango es 404 - 62 = 342

Desviación media:

 

 Desviación media de una serie de valores es la media aritmética de las diferencias en valor absoluto de cada uno de los valores y la media.

  

La desviación media es una indicación de cómo están agrupados los datos: si estuviesen muy cercanos unos a otros, situados de forma muy sucesiva, la desviación media sería pequeña; si los datos estuviesen muy lejos unos de otros, o muy desagrupados, por ejemplo formando dos o tres grupos de datos separados entre sí, la desviación media sería grande.

 

Veamos un ejemplo sencillo para aclarar cuál es el sentido de la desviación media:

 

Tenemos estos datos: 50, 50

1. La media es ( 50 + 50 )/ 2 = 50; la desviación media será [| 50 - 50 | + | 50 - 50 | ] / 2= 0 
2. Si ahora consideramos los datos: 25, 75. La media es ( 25 + 75 ) / 2 = 50; es la misma media que con los datos anteriores, pero... la desviación media será [ | 50 - 25 | +| 75 - 25 | ] / 2 = 37,5

Es decir, con la misma media, la desviación media es muy diferente, porque los datos son muy distintos, están situados de forma muy distinta.

 

Varianza: 

 

 Varianza de una serie es la media aritmética de las diferencias al cuadrado de cada uno de los valores y la media; es decir, una vez hallada la media, se halla las diferencias entre cada valor individual y la media, esas medidas se elevan al cuadrado; una vez hecho esto, se suman todas y se dividen entre el número de datos.

 

 

 

Variación típica: 

  Es la raíz cuadrada de la varianza:

concepto de probabilidad. Ley de Laplace

La probabilidad es un método por el cual se obtiene la frecuencia de un acontecimiento determinado mediante la realización de un experimento aleatorio, del que se conocen todos los resultados posibles, bajo condiciones suficientemente estables.

Ley de Laplace es una ley física que relaciona el cambio de presiones en la superficie que separa dos fluidos de distinta naturaleza con las fuerzas de línea debidas a efectos moleculares. En su forma más general se puede expresar como:

REALIZADO POR:
Alba Fernández Trujillo

teorema seno oblicuangulos

Un triángulo que no es rectángulo se le llama oblicuángulo Oblicuángulo se contrapone a rectángulo, en sentido estricto. Pero cuando se habla de triángulos oblicuángulos no se pretende excluir al triángulo rectángulo en el estudio, que queda asumido como caso particular. No obstante cuando el triángulo es rectángulo, porque se dice expresamente que lo es, el problema se reduce, tiene un tratamiento particular y no se aplican las técnicas generales de resolución.

Combinatoria. Combinaciones

La combinatoria es una rama de la matemática que estudia la enumeración, construcción y existencia de propiedades de configuraciones que satisfacen ciertas condiciones establecidas.

CONCEPTOS CLAVES:

-Población: Es el conjunto de elementos que estamos estudiando. Denominaremos con m al número de elementos de este conjunto. 

- Muestra: Es un subconjunto de la población. Denominaremos con n al número de elementos que componen la muestra. 

     >Orden: si es importante que los elementos de la muestra aparezcan ordenados o no. 

     >Repetición: posibilidad de que se repita o no.


COMBINACIONES

Se llama combinaciones de m elementos tomados de n en n (m ≥ n) a todas las agrupaciones posibles que pueden hacerse con los m elementos de forma que:

No entran todos los elementos.

No importa el orden.

No se repiten los elementos.

También podemos calcular las combinaciones mediante factoriales:

Las combinaciones se denotan por

>EJEMPLO :    En una clase de 35 alumnos se quiere elegir un comité formado por tres alumnos. ¿Cuántos comités diferentes se pueden formar?

No entran todos los elementos.

No importa el orden: Juan, Ana.

No se repiten los elementos.

MARÍA ÁLVAREZ MURCIA- 4ºA

Resolución de triángulos rectángulos

1.- Se conocen la hipotenusa y un cateto: 

 

 

     

 

 

2.- Se conocen los dos catetos: 

   

   

 

 

3.- Se conocen la hipotenusa y un ángulo agudo: 

   

 

 

 

4.- Se conocen un cateto y un ángulo agudo: